Calon guru belajar matematika dasar SMP dari Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP Tahun 2017. Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP ini masih cocok dijadikan bahan latihan untuk mepersiapkan diri dalam menghadapi Olimpiade Sains Nasional Tingkat Kabupaten SMP bidang matematik pada tahun ini.
Soal matematika yang kita diskusikan di bawah ini adalah soal OSN tingkat Kabupaten mata pelajaran Matematika SMP yang terdiri $10$ soal pilihan ganda dan $5$ soal isian singkat. Tetapi untuk memudahkan uji kompetensi secara mandiri, soal isian singkat kita tampilkan dalam bentuk pilihan ganda.
Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP Tahun 2017
Seperti apa soal dan pembahasan matematika SMP yang diujikan pada OSN tingkat Kabupaten, mari kita simak pada penjabaran berikut😊
Tunjukkan Kemampuan Matematika Terbaikmu!
| Nama Peserta : | |
| Tanggal Tes : | |
| Jumlah Soal : | 15 soal |
1. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Dikatakan bahwa $n$ adalah bilangan bulat, dan $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ bilangan prima, maka langsung kita uji untuk nilai $n$ bilangan bulat.
- untuk $n=0$ maka;
$3n-4=-4$ (Tidak Memenuhi),
$4n-5=-5$ (Tidak Memenuhi), dan
$5n-3=-3$ (Tidak Memenuhi) - untuk $n=1$ maka;
$3n-4=-1$ (Tidak Memenuhi),
$4n-5=-1$ (Tidak Memenuhi), dan
$5n-3=2$ (Memenuhi) - untuk $n=2$ maka;
$3n-4=2$ (Memenuhi),
$4n-5=3$ (Memenuhi), dan
$5n-3=7$ (Memenuhi)
Untuk $n=2$ kita peroleh $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ adalah bilangan bilangan prima. Sehingga jumlahnya adalah $2+3+7=12$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
2. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui $a$ dan $b$ adalah dua bilangan bulat positif, serta $b$ merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada $2017$. Jika $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=\dfrac{1}{12}$ maka pasangan bilangan $\left ( a,b \right )$ yang mungkin ada sebanyak...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b} &=\dfrac{1}{12} \\
\dfrac{b+4a}{ab} &=\dfrac{1}{12} \\
12b+48a &=ab \\
ab-48a-12b &=0 \\
\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )-12 \cdot 48 &=0 \\
\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right ) &=12 \cdot 48 \\
\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right ) &=2^{2}\cdot3\cdot2^{4} \cdot3 \\
\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right ) &=2^{6}\cdot 3^{2}
\end{align}$
Karena $b$ merupakan bilangan ganjil maka bentuk perkalian ruas kanan yang mungkin adalah
- $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2} \cdot 3^{0}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{0}$ - $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{1} \cdot 3^{1}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{1}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{1}$ - $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{2}$
maka pasangan bilangan $\left ( a,b \right )$ yang mungkin ada sebanyak $3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
3. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari $100\ m$ yang diikuti oleh tiga siswa $A$, $B$, dan $C$. Berdasarkan grafik tersebut, pernyataan yang benar adalah...
Alternatif Pembahasan:
- $(A)$ Pelari $C$ selalu berlari paling depan. $\Salah$, karena dari grafik pada detik ke-14 $(sekitar)$ pelari $B$ dan $C$ sudah melewati $A$.
- $(B)$ Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis. $\Benar$, karena dari grafik pelari $C$ lebih dahulu sampai dari $B$ meskipun sebelum detik ke-14 $(sekitar)$ pelari $B$ selalu di depan $C$.
- $(C)$ Pelari $A$ paling cepat berlari sampai ke garis finis. $\Salah$, karena dari grafik pelari $A$ tidak sampai finis.
- $(D)$ Pelari $B$ memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan. $\Salah$, karena dari grafik yang memenangi lomba adalah pelari $C$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)$ Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis.
4. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Jika bilangan bulat positif $x$ dan $y$ merupakan solusi sistem persamaan linear
$\begin{align}
x+2y &=p+6 \\
2x-y &=25-2p
\end{align}$
maka banyak nilai $p$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=p+6 &\ \times 2 \\
2x-y=25-2p &\ \times 1 \\
\hline
2x+4y=2p+12 & \\
2x-y=25-2p &\ (-) \\
\hline
5y=4p-13 \\
y=\dfrac{4p-13}{5}
\end{array} $
Karena nilai $y$ harus bilangan bulat positif,
maka nilai $p \gt \dfrac{13}{4}$ dan $4p-13$ harus kelipatan $5$.
Nilai $p$ yang memenuhi adalah $7,12,17,22,...$
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=p+6 &\ \times 1 \\
2x-y=25-2p &\ \times 2 \\
\hline
x+2y= p+6 & \\
4x-2y=50-4p &\ (+) \\
\hline
5x=56-3p \\
x=\dfrac{56-3p}{5}
\end{array} $
Karena nilai $x$ harus bilangan bulat positif,
maka nilai $p \lt 18$ dan $56-3p$ harus kelipatan 5.
Nilai $p$ yang memenuhi adalah $17, 12, 7, 2, ...$
Nilai $p$ yang memenuhi untuk $ x $ dan $ y $ adalah $ 7,12,17$ dan $ p $ yang diinginkan adalah banyaknya yaitu $3$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$
5. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui fungsi $f$ memenuhi persamaan $5f\left( \dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{f(2x)}{x^{2}}=x$, untuk $x≠0$. Nilai $f \left( 1 \right)$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
$5f\left( \dfrac{1}{x} \right)+\dfrac{f(2x)}{x^{2}}=x$
Untuk $x=1$
$\begin{align}
5f\left( \dfrac{1}{1} \right)+\dfrac{f(2 \cdot 1)}{1^{2}} &=1 \\
5f\left( 1 \right)+\dfrac{f(2)}{1} &=1 \\
5f(1)+f(2) &=1\ \cdots \text{(pers.1)}
\end{align}$
Selanjutnya untuk memilih nilai $x$ sebenarnya adalah sembarang asal tidak melanggar syarat $x≠0$.
Tetapi karena untuk $x=1$ terdapat variabel $f(1)$ dan $f(2)$ maka kita usahakan pemilihan nilai $x$ berikutnya akan memunculkan variabel $f(1)$ dan $f(2)$.
Untuk $x=\dfrac{1}{2}$
$\begin{align}
5f\left( \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\dfrac{f \left(2 \cdot \frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{1}{2} \right)^{2}} &=\dfrac{1}{2} \\
5f\left( \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\dfrac{f \left(1 \right)}{\frac{1}{4}} &=\dfrac{1}{2} \\
5f(2)+4f(1) &=\dfrac{1}{2}\ \cdots \text{(pers.2)}
\end{align}$
Lalu kita eliminasi atau substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$
$\begin{array}{c|c|cc}
5f(1)+f(2)=1 &\ \times 5 \\
5f(2)+4f(1)=\dfrac{1}{2} &\ \times 1 \\
\hline
25f(1)+5f(2)=5 & \\
5f(2)+4f(1)=\dfrac{1}{2} &\ (-) \\
\hline
21f(1)=\dfrac{9}{2} \\
f(1)=\dfrac{3}{14}
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{14}$
6. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Pada jajar genjang $ABCD$, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah $4\ cm$ dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah $9\ cm$. Luas jajar genjang $ABCD$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk menghitung luas jajaran genjang sama dengan menghitung luas persegi panjang karena jajar genjang adalah persegi empat, yaitu $\text{alas}\ \times\ \text{tinggi}$
Jika pada jajar genjang kita beri titik $E$ pada $AB$ sehingga $DE$ adalah garis tinggi, sehingga berlaku:
$\begin{align}
AD^{2}=AE^{2}+DE^{2} \\
&=4^{2}+DE^{2} \\
&=16+DE^{2} \\
AD=\sqrt{4^{2}+DE^{2}}
\end{align}$
maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai $AD \gt 4$ sehingga luas jajar genjang dengan alas $AD$ dan tinggi $9\ cm$ adalah,
$\begin{align}
\left [ABCD \right ] &= AD \times 9 \\
\left [ABCD \right ] & \gt 36 \\
\end{align}$
Jika pada jajar genjang kita beri titik $F$ pada $AD$ sehingga $BF$ adalah garis tinggi, sehingga berlaku
$\begin{align}
AB^{2} &=BF^{2}+AF^{2} \\
&=BF^{2}+AF^{2} \\
&=9^2+AF^{2} \\
AB &=\sqrt{9^{2}+AF^{2}}
\end{align}$
maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai $AB \gt 9$ sehingga luas jajar genjang dengan alas $AB$ dan tinggi $4\ cm$ adalah,
$\begin{align}
\left [ABCD \right ] &=AB \times 4 \\
\left [ABCD \right ] & \gt 36
\end{align}$
Saat jajar genjang membentuk empat persegi panjang dengan jarak antara sepasang sisi sejajar adalah $4\ cm$ dan $9\ cm$ maka luas jajar genjang adalah $ 36\ cm^{2}$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \text{minimal}\ 36\ cm^{2}$
7. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius $1$ satuan panjang dan $\angle DAB=30^{\circ}$. Luas daerah trapesium $ABCD$ yang diarsir adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mempermudah pengucapan kita beri beberapa titik tambahan pada gambar,
Titik pusat lingkaran kita beri nama titik $O$
Pada garis $AB$ kita beri titik $E$ dimana $DE=BC$, sehingga kita peroleh persegi panjang $DEBC$ dan segitiga siku-siku $AED$
Karena $\bigtriangleup AED$ adalah segitiga siku-siku maka berlaku;
$\begin{align}
sin\ 30^{\circ} &=\dfrac{DE}{AD} \\
\dfrac{1}{2} &=\dfrac{DE}{2} \\
DE &=1 \\
\hline
AE^{2}+DE^{2} &=AD^{2} \\
AE^{2}+1^{2} &=2^{2} \\
AE^{2} &=3 \\
AE &=\sqrt{3} \\
\end{align}$
Kita perhatikan kembali $\bigtriangleup ODE$ adalah segitiga sama sisi, sehingga berlaku;
$\begin{align}
OD^{2} &=OF^{2}+DF^{2} \\
1^{2} &=OF^{2}+\left (\dfrac{1}{2} \right )^{2} \\
1 &=OF^{2}+\dfrac{1}{4} \\
OF^{2} &=1-\dfrac{1}{4} \\
OF &=\sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
OF &=\dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}$
Dari hasil perhitungan diatas bisa kita peroleh panjang $CD$,
$CD=1-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$
Luas $ABCD$=Luas $ADE$ + Luas $BCDE$
$\begin{align}
\left [ABCD \right ] &=\left [ADE \right ]+\left [BCDE \right ] \\
&=\dfrac{1}{2} AE \cdot ED + CD \cdot BC \\
&=\dfrac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 1 + \left (1-\dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right ) \cdot 1 \\
&=\dfrac{1}{2} \sqrt{3} + 1-\dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
&= 1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
8. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=12$ dan $BC=5$. Panjang lintasan $DPQB$ pada gambar berikut adalah...
Alternatif Pembahasan:
$ABCD$ adalah persegi panjang sehingga berlaku $BQ=DP$ dan $CQ=AP$
$\begin{align}
AC^{2} &=AB^{2}+BC^{2} \\
&=12^{2}+5^{2} \\
&=144+25 \\
AC &=13
\end{align}$
Luas $ABCD$ dapat kita hitung, yaitu;
$\begin{align}
AB \cdot BC &= 2 \cdot \left [ABC \right ] \\
12 \cdot 5 &= 2 \cdot \dfrac{1}{2} AC \cdot BQ \\
60 &= 13 \cdot BQ \\
BQ &= \dfrac{60}{13} \\
DP &= \dfrac{60}{13}
\end{align}$
Sekarang kita coba hitung panjang $PQ$, dari $\bigtriangleup BQC$
$\begin{align}
BC^{2} &=CQ^{2}+BQ^{2} \\
5^{2} &=CQ^{2}+\left (\dfrac{60}{13} \right )^{2} \\
CQ^{2} &=5^{2}-\left (\dfrac{60}{13} \right )^{2} \\
&=\left (5+\dfrac{60}{13} \right ) \left (5-\dfrac{60}{13} \right ) \\
&=\left (\dfrac{65+60}{13} \right ) \left (\dfrac{65-60}{13} \right ) \\
&=\left (\dfrac{125}{13} \right ) \left (\dfrac{5}{13} \right ) \\
&=\dfrac{625}{169} \\
CQ &=\dfrac{25}{13} \\
\hline
PQ &=AC-2 \cdot CQ \\
&=13-2 \cdot \dfrac{25}{13} \\
&=13- \dfrac{50}{13}
\end{align}$
Panjang lintasan
$\begin{align}
DPQB &=DP+PQ+QB \\
&=\dfrac{60}{13}+13- \dfrac{50}{13}+\dfrac{60}{13} \\
&=\dfrac{70}{13}+13 \\
&=\dfrac{239}{13}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{239}{13}$
9. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui $M=\left \{ 10,11,12,13, \cdots ,99 \right \}$ dan $A$ adalah himpunan bagian $M$ dari yang mempunyai $4$ anggota. Jika jumlah semua anggota $A$ merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Anggota himpunan A ada sebanyak 4 dan jumlah keempatnya adalah bilangan genap.
Jumlah 4 bilangan adalah bilangan genap terjadi dari beberapa kemungkinan.
- Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap
- Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil
- Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil
Karena $A$ adalah himpunan bagian dari $M=\left (10,11,12,13, \cdots ,99 \right )$, maka banyak anggota $A$ yang mungkin adalah:
- Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap
$M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
$n \left (M_{genap} \right )=45$
Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan genap adalah,
$n \left (A \right )=C_{4}^{45}$
$n \left (A \right )=\dfrac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
$n \left (A \right )=148.995$ - Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil
$M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
$n \left (M_{genap} \right )=45$
$M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$
$n \left (M_{ganjil} \right )=45$
Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 2 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil adalah,
$n \left (A \right )=C_{2}^{45} \cdot C_{2}^{45}$
$n \left (A \right )=\dfrac {45 \cdot 44 }{2 \cdot 1} \cdot \dfrac {45 \cdot 44}{2 \cdot 1}$
$n \left (A \right )=990 \cdot 990$
$n \left (A \right )=980.100$ - Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil
$M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$ $n \left (M_{ganjil} \right )=45$ Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan ganjil adalah, $n \left (A \right )=C_{4}^{45}$ $n \left (A \right )=\dfrac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ $n \left (A \right )=148.995$
Total banyak kemungkinan anggota $A$ adalah Kemungkinan 1 + Kemungkinan 2 + Kemungkinan 3.
$148.995+980.100+148.995=1.278.090$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1.278.090 $
10. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Dari $4$ pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ dan $x_{4}$. Jika jangkauan data tersebut adalah $16$, $x_{1}=\dfrac{1}{6}median$, $x_{2}=\dfrac{1}{2}median$, dan $x_{3}=x_{4}$, maka nilai rata-rata data tersebut adalah...
Alternatif Pembahasan:
Data $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar.
Maka data-data yang bisa kita peroleh antara lain;
- $J=x_{4}-x_{1}$
$16=x_{4}-x_{1}$ - $Me= \dfrac {x_{2}+x_{3}}{2}$ dan $x_{3}=x_{4}$
- $x_{1}=\dfrac{1}{6}\ Median$
$x_{1}=\dfrac{1}{6} \left (\dfrac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
$x_{1}=\dfrac {x_{2}+x_{3}}{12}$ - $x_{2}=\dfrac{1}{2}\ Median$
$x_{2}=\dfrac{1}{2} \left (\dfrac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
$x_{2}=\dfrac {x_{2}+x_{3}}{4}$
$4x_{2}=x_{2}+x_{3}$
$3x_{2}=x_{3}$ - $x_{4}-x_{1}=16$
$x_{3}-\dfrac {x_{2}+x_{3}}{12}=16$
$3x_{2}-\dfrac {x_{2}+3x_{2}}{12}=16$
$3x_{2}-\dfrac {4x_{2}}{12}=16$
$3x_{2}-\dfrac {x_{2}}{3}=16$
$\dfrac {9x_{2}}{3}-\dfrac {x_{2}}{3}=16$
$8x_{2}=48$
$x_{2}=6$ - $3x_{2}=x_{3}$
$3 \cdot 6=x_{3}$
$x_{3}=18$
$x_{4}=18$ - $x_{1}=\dfrac {x_{2}+x_{3}}{12}$
$x_{1}=\dfrac {6+18}{12}$
$x_{1}=2$
Rata-rata data adalah:
$\bar{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{2+6+18+18}{4}$
$\bar{x}=\dfrac{44}{4}$
$\bar{x}=11$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 11$
11. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui $n$ dan $k$ adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai $k$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{8}{15} \lt \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13}$, maka nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah...
Alternatif Pembahasan:
Untuk mengerjakan pertidaksamaan, kita coba dengan menyamakan penyebut pecahan dengan tidak merubah nilai pecahan
$\dfrac{8}{15} \lt \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13}$
Kasus 1
$\begin{align}
\dfrac{8}{15}\cdot\dfrac{13}{13} \lt & \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13}\cdot\dfrac{15}{15} \\
\dfrac{104}{195} \lt & \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{105}{195}
\end{align}$
dari pertidaksamaan di atas jika kita anggap $ n+k=195 $ maka $ 104 \lt n \lt 105 $.
Untuk nilai $ n $ bilangan bulat tidak ada yang memenuhi $ 104 \lt n \lt 105$.
Pertidaksamaan $\dfrac{104}{195} \lt \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{105}{195}$ kita ubah lagi menjadi;
$\dfrac{208}{390} \lt \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{210}{390}$
Dari pertidaksamaan di atas jika kita anggap $ n+k=390 $ maka $ 208 \lt n \lt 210$.
Untuk nilai $n$ bilangan bulat yang memenuhi $ 208 \lt n \lt 210$ adalah $ 209 $.
Kita uji apakah untuk nilai $ n=209 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi,
$\begin{align}
\dfrac{8}{15} \lt &\ \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13} \\
\dfrac{8}{15} \lt &\ \dfrac{209}{209+k} \lt \dfrac{7}{13} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ \dfrac{209+k}{209} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ 1+ \dfrac{k}{209} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{6}{7} \lt &\ \dfrac{k}{209} \lt \dfrac{7}{8} \\
\dfrac{6 \cdot 209 }{7} \lt &\ k \lt \dfrac{7 \cdot 209}{8} \\
\dfrac{1254}{7} \lt &\ k \lt \dfrac{1463}{8} \\
179\dfrac{1}{7} \lt &\ k \lt 182\dfrac{7}{8}
\end{align}$
Bilangan bulat $k$ yang memenuhi adalah $ 180 $, $ 181 $, dan $ 182 $ sedangkan pada soal yang dinginkan adalah tepat satu nilai $k$ yang memenuhi.
Kasus 2
$\begin{align}
\dfrac{8}{15} \lt &\ \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ \dfrac{n+k}{n} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ 1+\dfrac{k}{n} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{6}{7} \lt &\ \dfrac{k}{n} \lt \dfrac{7}{8} \\
\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{8}{8} \lt &\ \dfrac{k}{n} \lt \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{7}{7} \\
\dfrac{48}{56} \lt &\ \dfrac{k}{n} \lt \dfrac{49}{56} \\
\dfrac{96}{112} \lt &\ \dfrac{k}{n} \lt \dfrac{98}{112} \\
\end{align}$
dari pertidaksamaan diatas jika kita anggap $ n=112 $ maka $ 96 \lt k \lt 98 $,
nilai $ k $ bilangan bulat yang memenuhi adalah $ 97 $
Kita uji apakah untuk nilai $ n=112 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi,
$\begin{align}
\dfrac{8}{15} \lt &\ \dfrac{n}{n+k} \lt \dfrac{7}{13} \\
\dfrac{8}{15} \lt &\ \dfrac{112}{112+k} \lt \dfrac{7}{13} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ \dfrac{112+k}{112} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{13}{7} \lt &\ 1+\dfrac{k}{112} \lt \dfrac{15}{8} \\
\dfrac{6}{7} \lt &\ \dfrac{k}{112} \lt \dfrac{7}{8} \\
\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{16}{16} \lt &\ \dfrac{k}{112} \lt \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{14}{14} \\
\dfrac{96}{112} \lt &\ \dfrac{k}{112} \lt \dfrac{98}{112}
\end{align}$
Dari pertidaksamaan diatas karena penyebut sudah sama yaitu $112$
maka nilai $k$ yang memenuhi $ 96 \lt k \lt 98 $ hanya $ 97 $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 112 $
12. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Nilai $1+2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+5 \cdot 2^{4}+ \cdots+2018 \cdot 2^{2017}$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Misal soal kita misalkan dengan $P$.
$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan 2 sehingga kita peroleh;
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$
$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$ $-$
-----------------------------------------------------------------------------------
$P-2P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$-P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017} \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (2^{2018}-1 \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-2^{2018}+1$
$P=2^{2018}\left (2018-1 \right )+1$
$P=2^{2018}\left (2017 \right )+1$
$P=2017\cdot 2^{2018}+1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2017\cdot 2^{2018}+1 $
13. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Diketahui $p,q,r,s$ adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan $r$ dan $s$ adalah solusi persamaan $x^{2}+px+q=0$ serta bilangan $p$ dan $q$ adalah solusi persamaan $x^{2}+rx+s=0$. Nilai $p+q+r+s$ sama dengan...
Alternatif Pembahasan:
Pada soal disampaikan solusi $x^{2}+px+q=0$ adalah $r$ dan $s$ sehingga berlaku
$r+s=-p$
$rs=q$
Lalu solusi solusi $x^{2}+rx+s=0$ adalah $p$ dan $q$ sehingga berlaku
$p+q=-r$
$pq=s$
$r+s=-p$
$p+q=-r$ $-$
---------------------
$r+s-p-q=-p+r$
$s=q$
$rs=q$
$rq=q$
$r=1$
$pq=s$
$ps=s$
$p=1$
$r+s=-p$
$p+q=-r$ $+$
---------------------
$p+q+r+s=-p-r$
$p+q+r+s=-\left (p+r \right )$
$p+q+r+s=-\left (1+1 \right )$
$p+q+r+s=-2$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2$
14. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Misalkan $ADEN$ dan $BMDF$ sebuah persegi dengan $F$ merupakan titik tengah $AD$. Luas segitiga $CDE$ adalah $6$ satuan luas. Luas segitiga $ABC$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Misal;
$BM=DM=x$ sehingga $DE=AD=2x$
Luas $\bigtriangleup BME=\dfrac{1}{2} ME \cdot BM$
$\left [BME \right ]=\dfrac{1}{2} 3x \cdot x$
$\left [BME \right ]=\dfrac{3}{2} x^{2}$
Luas $BMDC$= Luas $\bigtriangleup BME$ $-$ Luas $\bigtriangleup BME$
$\left [BMDC \right ]=\dfrac{3}{2} x^{2}-6$
Luas $ \bigtriangleup BCF$= Luas $BMDF$ $-$ Luas $BMDC$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\left (\dfrac{3}{2} x^{2}-6 \right )$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\dfrac{3}{2} x^{2}+6$
$\left [BCF \right ]=6-\dfrac{1}{2} x^{2}$
Luas $\bigtriangleup ABF=\dfrac{1}{2} AF \cdot BF$
$\left [ABF \right ]=\dfrac{1}{2} x \cdot x$
$\left [ABF \right ]=\dfrac{1}{2} x^{2}$
Luas $\bigtriangleup ABC$ = Luas $\bigtriangleup ABF$ $+$ Luas $ \bigtriangleup BCF$
$\left [ABC \right ]=6-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{2} x^{2}$
$\left [ABC \right ]=6$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 6$
15. Soal OSN-K Matematika SMP 2017
Tersedia $10$ loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa $4$ orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari $4$ orang sebelumnya adalah...
Alternatif Pembahasan:
E: Kejadian 4 orang pertama dilayani di loket yang berbeda dan orang kelima pada loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya.
$n \left ( P_{1} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan I.
$n \left ( P_{1} \right )=10$
$n \left ( P_{2} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan II.
$n \left ( P_{2} \right )=9$
$n \left ( P_{3} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan III.
$n \left ( P_{3} \right )=8$
$n \left ( P_{4} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan IV.
$n \left ( P_{4} \right )=7$
$n \left ( P_{5} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan V.
$n \left ( P_{5} \right )=4$
$n\left ( E \right )=n \left ( P_{1} \right )\cdot n \left ( P_{2} \right )\cdot n \left ( P_{3} \right )\cdot n \left ( P_{4} \right )\cdot n \left ( P_{5} \right )$
$n\left ( E \right )=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4$
$n\left ( S \right )=10^{5}$
Peluang Kejadian $E$ adalah;
$P\left ( E \right )=\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4}{10^{5}}$
$P\left ( E \right )=\dfrac{126}{625}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{126}{625} $
Pada catatan sebelumnya kita sudah mendiskusikan beberapa soal yang dapat dijadikan sebagai bahan latihan dalam menghadapi OSN Matematika pada tahun ini, diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 👀Lihat Soal
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 👀Lihat Soal
Referensi dan penjabaran dari pembahasan soal diatas dibantu oleh dua guru matematika yang keren yaitu Pak Anang dan Pak Syukri Lukman.
Catatan Soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP Tahun 2017 di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
