The good student, Calon Guru belajar matematika lewat cara pembuktian sifat-sifat logaritma dan contoh soal logaritma, setidaknya ada $11$ sifat logaritma yang akan kita buktikan pada catatan berikut ini dan pembuktian di bawah ini hanya alternatif saja, jadi masih ada kemungkinan cara pembuktian dengan cara yang mungkin berbeda.
Secara umum logaritma adalah kebalikan dari bilangan perpangkat, dalam bahasa tetangga disampaikan 'inverse exponential functions is called the logarithmic function'.
Sebelum kepada sifat-sifat logaritma, coba kita catat sedikit tentang istilah kebalikan dari bilangan berpangkat. Kita pilih dari bentuk bilangan berpangkat yang sederhana yaitu ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8}$
- Dari bentuk bilangan berpangkat ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} 3}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $\sqrt[{3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$
- untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} 3}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$
Jadi kebalikan dari bilangan berpangkat bukan hanya logaritma tetapi juga akar.
Kesimpulan yang bisa kita ambil adalah:
- jika ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8}$ maka ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ dan
- jika ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ maka ${\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $.
Dalam bahasa logika matematika dapat dituliskan:
${\color{Blue} 2}^{3}={\color{Green} 8}$ jika dan hanya jika ${}^{{\color{Blue} 2}}\!\log {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$
Bentuk umum logaritma dapat kita tuliskan sebagai berikut;
${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ jika dan hanya jika ${\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$.
Bentuk penulisan logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $\!\log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$.
Bentuk ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ atau $\!\log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$ dibaca: logaritma dari ${\color{Green} b}$ dengan bilangan pokok ${\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Red} c}$. Tetapi untuk memudahkan pengucapan sering hanya disebut "a log b = c".
Istilah-istilah pada logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c}$
- ${\color{Blue} a}$ disebut Basis (Bilangan Pokok). Batasan nilai ${\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a} \neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
- $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai ${\color{Green} b}$ adalah ${\color{Green} b} \gt 0$
- ${\color{Red} c}$ disebut Hasil logaritma
Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma di atas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;
- ${}^{a}\!\log a=1$
- ${}^{a}\!\log 1=0$
- ${}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x \cdot y \right )$
- ${}^{a}\!\log x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \dfrac{x}{y}$
- ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x$
- ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot {}^{a}\!\log x$
- ${}^{a}\!\log x= \dfrac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}$
- ${}^{a}\!\log x= \dfrac{1}{{}^{x}\!\log a} $
- ${}^{a}\!\log x \ \cdot \ {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b$
- $a^{{}^{a}\!\log x}= x$
- $a^{{}^{b}\!\log c}=c^{{}^{b}\!\log a}$
Dengan mengenal beberapa sifat logaritma di atas, bisa mendekatkan kita kepada logaritma. Ketika kita dekat dengan logaritma maka kita akan mudah mengetahui kapan sebuah logaritma dapat atau tidak digunakan untuk menyelesaikan sebuah masalah.
Sama halnya dengan mengenal teman-teman kita, semakin kita mengenal sifat-sifat teman kita maka kita akan lebih mudah membantu mereka dalam mencari solusi ketika teman kita dalam sebuah masalah.
Cara Pembuktian Sifat-sifat Logaritma dan Contoh Soal Logaritma
1. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log a=1$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba dengan menganggap bahwa kita tidak mengetahui nilai ${}^{a}\!\log a$, sehingga dapat kita misalkan nilai ${}^{a}\!\log a$ di atas dengan sebuah variabel yaitu $y$ sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{a}\!\log a=y \end{align}
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuknya menjadi: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} a} \\ {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} a}^{\color{Red} 1} \end{align}
Dengan melihat bentuk bilangan berpangkat di atas, agar persamaan bernilai benar maka nilai $y$ yang memenuhi adalah $y=1$, sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{a}\!\log a &= y \\ {}^{a}\!\log a &= 1 \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log a = 1$
- Contoh 1
${}^{2}\!\log 2=1$ - Contoh 2
${}^{5}\!\log 5=1$ - Contoh 3
${}^{}\!\log 10=1$
2. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log 1=0$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba dengan menganggap bahwa kita tidak mengetahui nilai ${}^{a}\!\log 1$, sehingga dapat kita misalkan nilai ${}^{a}\!\log 1$ di atas dengan sebuah variabel yaitu $y$ sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{a}\!\log 1=y \end{align}
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuknya menjadi: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} 1} \\ {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} a}^{\color{Red} 0} \end{align}
Dengan melihat bentuk bilangan berpangkat di atas, agar persamaan bernilai benar maka nilai $y$ yang mungkin adalah $y=0$, sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{a}\!\log 1 &= y \\ {}^{a}\!\log 1 &= 0 \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log 1 = 0$
- Contoh 1
${}^{2}\!\log 1=0$ - Contoh 2
${}^{5}\!\log 1=0$ - Contoh 3
${}^{}\!\log 1=0$
3. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x\cdot y \right )$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba dengan memisalkan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m}$ dan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n}$ sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m} & \longrightarrow {\color{Blue} a}^{\color{Red} m}={\color{Green} x} \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n} & \longrightarrow {\color{Blue} a}^{\color{Red} n}={\color{Green} y} \\ \end{align}
Lalu dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat kita peroleh: \begin{align} {\color{Green} x} \cdot {\color{Green} y} & = {\color{Blue} a}^{\color{Red} m} \cdot {\color{Blue} a}^{\color{Red} n} \\ {\color{Green} x} \cdot {\color{Green} y} & = {\color{Blue} a}^{\color{Red} m + \color{Red} n } \\ \end{align}
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuk di atas menjadi: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( {\color{Green} x} \cdot {\color{Green} y} \right)=\color{Red} m + \color{Red} n \end{align}
Dengan mengembalikan nilai ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m}$ dan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n}$ dapat kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( {\color{Green} x} \cdot {\color{Green} y} \right) &=\color{Red} m + \color{Red} n \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( {\color{Green} x} \cdot {\color{Green} y} \right) &={}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} + {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y} \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x\cdot y \right )$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 + {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log \left ( 3 \cdot 5 \right ) \\ & = {}^{2}\!\log 15 \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} & {}^{7}\!\log 3 + {}^{7}\!\log 10 \\ & = {}^{7}\!\log \left ( 3 \cdot 10 \right ) \\ & = {}^{7}\!\log 30 \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} & {}^{5}\!\log 2 + {}^{5}\!\log 3 + {}^{5}\!\log 4 \\ & = {}^{5}\!\log \left ( 2 \cdot 3 \right ) + {}^{5}\!\log 4 \\ & = {}^{5}\!\log \left ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \right ) \\ & = {}^{5}\!\log 24 \end{align}$
4. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \frac{x}{y}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba dengan memisalkan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m}$ dan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n}$ sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m} & \longrightarrow {\color{Blue} a}^{\color{Red} m}={\color{Green} x} \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n} & \longrightarrow {\color{Blue} a}^{\color{Red} n}={\color{Green} y} \\ \end{align}
Lalu dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat kita peroleh: \begin{align} \dfrac{ {\color{Green} x} } { {\color{Green} y} } & = \dfrac{ {\color{Blue} a}^{\color{Red} m} } { {\color{Blue} a}^{\color{Red} n} } \\ \dfrac{ {\color{Green} x} } { {\color{Green} y} } & = {\color{Blue} a}^{\color{Red} m - \color{Red} n } \\ \end{align}
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuk di atas menjadi: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( \dfrac{ {\color{Green} x} } { {\color{Green} y} } \right)=\color{Red} m - \color{Red} n \end{align}
Dengan mengembalikan nilai ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} m}$ dan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y}={\color{Red} n}$ dapat kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( \dfrac{ {\color{Green} x} } { {\color{Green} y} } \right) &=\color{Red} m - \color{Red} n \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log \left( \dfrac{ {\color{Green} x} } { {\color{Green} y} } \right) &={}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} -{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} y} \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x-{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \dfrac{x}{y}$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 - {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log \frac{3}{5} \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} & {}^{5}\!\log 10 - {}^{5}\!\log 2 \\ & = {}^{5}\!\log \frac{10}{2} \\ & = {}^{5}\!\log 5 \\ & = 1 \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 16 - {}^{3}\!\log 4 - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log \frac{16}{4} - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log 4 - {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log \frac{4}{2} \\ & = {}^{3}\!\log 2 \end{align}$
5. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba menggunakan sifat bilangan berpangkat pada $x^{n}$ kita akan peroleh perkalian $x$ sebanyak $n$: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x^{n}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {\left(x \cdot x \cdot x \cdots x \right)} } \\ \end{align}
Lalu dengan menggunakan sifat logaritma ${}^{a}\!\log x+{}^{a}\!\log y={}^{a}\!\log \left (x\cdot y \right )$ kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x^{n}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {\left(x \cdot x \cdot x \cdots x \right)} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x^{n}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+\cdots+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} } \\ \end{align}
Karena $x$ ada sebanyak $n$ maka ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }$ juga akan ada sebanyak $n$ sehingga kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x^{n}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} }+\cdots+{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x^{n}} &= n\ \times\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} {x} } \\ \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 64 \\ & = {}^{2}\!\log 2^{6} \\ & = 6 \cdot\ {}^{2}\!\log 2 \\ & = 6 \cdot\ 1 \\ & = 6 \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} & {}^{}\!\log 1000 \\ & ={}^{10}\!\log 1000 \\ & = {}^{10}\!\log 10^{3} \\ & = 3 \cdot\ {}^{10}\!\log 10 \\ & = 3 \cdot\ 1 \\ & = 3 \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} & {}^{5}\!\log \frac{1}{5} \\ & = {}^{5}\!\log 5^{-1} \\ & = -1 \cdot\ {}^{5}\!\log 5 \\ & = -1 \cdot\ 1 \\ & = -1 \end{align}$
6. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot\ {}^{a}\!\log x$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba memisalkan ${}^{{\color{Blue} a^{n}}}\!\log {\color{Green} x^{m}}={\color{Red} y}$.
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuk di atas menjadi: \begin{align} \left( {\color{Blue} a^{n}} \right)^{\color{Red} y} &= {\color{Green} x^{m}} \\ {\color{Blue} a^{yn}} &= {\color{Green} x^{m}} \\ {\color{Blue} a^{\frac{yn}{m}}} &= {\color{Green} x} \\ {\color{red} {\frac{yn}{m}}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \\ {\color{red} {y}} \cdot {\color{red} {\frac{n}{m}}} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \\ {\color{red} {y}} &= {\color{red} {\frac{m}{n}}} \cdot {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \\ \end{align}
Jika kita kembalikan nilai $y$ semula yaitu ${}^{{\color{Blue} a^{n}}}\!\log {\color{Green} x^{m}}={\color{Red} y}$ maka kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a^{n}}}\!\log {\color{Green} x^{m}} &= {\color{red} {\frac{m}{n}}} \cdot {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n} \cdot\ {}^{a}\!\log x$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{4}\!\log 125 \\ & = {}^{2^{2}}\!\log 5^{3} \\ & = \frac{3}{2} \cdot\ {}^{2}\!\log 5 \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} & {}^{27}\!\log 8 \\ & = {}^{3^{3}}\!\log 2^{3} \\ & = \frac{3}{3} \cdot\ {}^{3}\!\log 2 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} & {}^{25}\!\log 0,001 \\ & = {}^{{5}^{2}}\!\log 10^{-3} \\ & = \frac{-3}{2} \cdot\ {}^{5}\!\log 10 \end{align}$
7. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x= \frac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba memisalkan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} y}$.
Lalu Dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuk di atas menjadi: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} x} \\ \end{align}
Lalu pada ruas kiri dan kanan kita berikan logaritma dengan bilangan pokok yang sama, misal ${}^{{\color{Blue} p}}\!\log $ bentuknya menjadi: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} x} \\ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a^{\color{Red} y}} &= {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} \\ \end{align}
Pemilihan ${}^{{\color{Blue} p}}\!\log $ pada langkah di atas adalah bebas, tergantung kebutuhan, yang menjadi catatan adalah ruas kiri dan kanan mendapat perlakuan yang sama.
Dengan menggunakan sifat ${}^{a}\!\log x^{n}=n \cdot\ {}^{a}\!\log x$, maka kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a^{\color{Red} y}} &= {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} \\ y\ \cdot \ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} &= {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} \\ y &= \dfrac{ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} }{ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} } \\ \end{align}
Jika kita kembalikan nilai $y$ semula yaitu ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} y}$ maka kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} &= \dfrac{ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} }{ {}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} } \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x= \dfrac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{{}^{5}\!\log 2}{{}^{5}\!\log 3} \end{align}$ - Contoh 2
Jika ${}^{2}\!\log 5=m$, maka tentukan nilai dari ${}^{5}\!\log 2$ dalam $m$.
$\begin{align} {}^{5}\!\log 2 & = \dfrac{{}^{2}\!\log 2}{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{m} \end{align}$ - Contoh 3
Jika ${}^{2}\!\log 3=n$, maka tentukan nilai dari ${}^{27}\!\log 16$ dalam $n$.
$\begin{align} {}^{2}\!\log 3 & =n\\ \dfrac{{}^{}\!\log 3}{{}^{}\!\log 2} & =n\ \text{atau}\ \dfrac{{}^{}\!\log 2}{{}^{}\!\log 3} = \dfrac{1}{n} \\ \hline {}^{27}\!\log 16 & =\dfrac{{}^{}\!\log 16}{{}^{}\!\log 27} \\ & =\dfrac{{}^{}\!\log 2^{4}}{{}^{}\!\log 3^{3}} \\ & =\dfrac{4 \cdot {}^{}\!\log 2}{3 \cdot {}^{}\!\log 3} \\ & =\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{{}^{}\!\log 2}{{}^{}\!\log 3} \\ & =\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{n} \\ & =\dfrac{4}{3n} \end{align}$
8. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x= \frac{1}{{}^{x}\!\log a} $
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita dapat menggunakan sifat ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} = \dfrac{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} }{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} }$.
Pemilihan bilangan pokok $p$ pada sifat logaritma di atas adalah bebas, sehingga bilangan pokok $p$ dapat kita pilih dengan angka atau variabel yang lain, misalkan menjadi $x$, bentuk di atas menjadi: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} &= \dfrac{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} }{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} &= \dfrac{{}^{{\color{Blue} x}}\!\log {\color{Green} x} }{{}^{{\color{Blue} x}}\!\log {\color{Blue} a} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} &= \dfrac{ 1 }{{}^{{\color{Blue} x}}\!\log {\color{Blue} a} } \\ \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x= \dfrac{1}{{}^{x}\!\log a} $
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{1}{{}^{3}\!\log 2} \end{align}$ - Contoh 2
Jika ${}^{3}\!\log 5=p$, maka tentukan nilai dari ${}^{5}\!\log 3$ dalam $p$.
$\begin{align} {}^{5}\!\log 3 & = \dfrac{1}{{}^{3}\!\log 5} \\ & = \dfrac{1}{p} \end{align}$ - Contoh 3
Jika ${}^{2}\!\log 3=m$, maka tentukan nilai dari ${}^{27}\!\log 16$ dalam $m$.
$\begin{align} {}^{2}\!\log 3 & =m \\ \dfrac{1}{{}^{2}\!\log 3} & = \dfrac{1}{m} \\ {}^{3}\!\log 2 & = \dfrac{1}{m} \\ \hline {}^{27}\!\log 16 & = {}^{{3}^{3}}\!\log 2^{4} \\ & =\frac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2 \\ & =\frac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{m} \\ & =\dfrac{4}{3m} \end{align}$
9. Pembuktian Sifat Logaritma ${}^{a}\!\log x \cdot {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita dapat menggunakan sifat ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} = \dfrac{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Green} x} }{{}^{{\color{Blue} p}}\!\log {\color{Blue} a} }$.
Pemilihan bilangan pokok $p$ pada sifat logaritma di atas adalah bebas, sehingga bilangan pokok $p$ dapat kita pilih dengan angka atau variabel yang lain, misalkan menjadi $10$, bentuk di atas menjadi: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} &= \dfrac{\!\log {\color{Green} x} }{\!\log {\color{Blue} a} } \end{align}
Dari sifat logaritma di atas dapat kita peroleh: \begin{align} {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \cdot {}^{{\color{Green} x}}\!\log {\color{Red} b} &= \dfrac{\!\log {\color{Green} x} }{\!\log {\color{Blue} a} } \cdot \dfrac{\!\log {\color{Red} b} }{\!\log {\color{Green} x} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \cdot {}^{{\color{Green} x}}\!\log {\color{Red} b} &= \dfrac{\!\log {\color{Red} b} }{\!\log {\color{Blue} a} } \\ {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x} \cdot {}^{{\color{Green} x}}\!\log {\color{Red} b} &= {}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Red} b} \\ \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa ${}^{a}\!\log x \cdot {}^{x}\!\log b = {}^{a}\!\log b$
- Contoh 1
$\begin{align} & {}^{2}\!\log 3 \cdot {}^{3}\!\log 5 \\ & = {}^{2}\!\log 5 \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{5}\!\log 27 \cdot {}^{2}\!\log 5 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{2}\!\log 5 \cdot {}^{5}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 5 \cdot {}^{5}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 27 \\ & = {}^{3}\!\log 3^{3} \\ & = 3 \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} & {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{8}\!\log 81 \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{{2}^{3}}\!\log {3}^{4} \\ & = {}^{3}\!\log 2 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2 \cdot {}^{2}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot {}^{3}\!\log 3 \\ & = \dfrac{4}{3} \cdot 1 \\ & = \dfrac{4}{3} \end{align}$
10. Pembuktian Sifat Logaritma $a^{{}^{a}\!\log x}= x$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba misalkan ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}={\color{Red} y}$.
Lalu dengan menggunakan bentuk umum logaritma ${}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} b}={\color{Red} c} \ \leftrightarrow \ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b}$ bentuk di atas menjadi: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} = {\color{Green} x} \\ \end{align}
Jika kita kembalikan nilai $y$ semula yaitu ${\color{Red} y}={}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}$ maka kita peroleh: \begin{align} {\color{Blue} a}^{\color{Red} y} &= {\color{Green} x} \\ {\color{Blue} a}^{{}^{{\color{Blue} a}}\!\log {\color{Green} x}} &= {\color{Green} x} \\ \end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa $a^{{}^{a}\!\log x}= x$
- Contoh 1
$\begin{align} 3^{{}^{3}\!\log 2} &= 2 \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} 32^{{}^{2}\!\log 5} & = \left( 2^{4} \right)^{{}^{2}\!\log 5} \\ & = \left( 2 \right)^{4 \cdot {}^{2}\!\log 5} \\ & = \left( 2 \right)^{{}^{2}\!\log 5^{4}} \\ & = 5^{4} \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} 3^{{}^{27}\!\log 2} & = 3^{{}^{{3}^{3}}\!\log 2} \\ & = 3^{\frac{1}{3} \cdot {}^{3}\!\log 2} \\ & = 3^{{}^{3}\!\log 2^{\frac{1}{3}}} \\ & = 2^{\frac{1}{3}} \end{align}$
11. Pembuktian Sifat Logaritma $a^{{}^{b}\!\log c}=c^{{}^{b}\!\log a}$
Alternatif Pembuktian:
Untuk membuktikan sifat logaritma ini kita coba dengan memisalkan salah satu bentuk logaritma di atas yaitu $a^{{}^{b}\!\log c}$ dengan sebuah variabel yaitu $y$ sehingga kita peroleh: \begin{align} y=a^{{}^{b}\!\log c} \end{align}
Lalu pada ruas kiri dan kanan kita berikan logaritma yang sama, bentuknya menjadi: \begin{align} \!\log a^{{}^{b}\!\log c}=\!\log y \end{align}
Dengan menggunakan sifat ${}^{a}\!\log x^{n}=n {}^{a}\!\log x$ kita peroleh bentuknya menjadi: \begin{align} {}^{b}\!\log c\ \!\log a=\!\log y \end{align}
Lalu dengan menggunakan sifat ${}^{a}\!\log x= \frac{{}^{p}\!\log x}{{}^{p}\!\log a}$ kita peroleh bentuknya menjadi: \begin{align} \dfrac{\!\log c}{\!\log b}\ \!\log a=\!\log y \end{align}
Perubahan berikutnya dengan menggunakan beberapa manipulasi aljabar dan sifat logaritma kita peroleh: \begin{align} \dfrac{\!\log a}{\!\log b}\ \!\log c &= \!\log y \\ {}^{b}\!\log a\ \!\log c &= \!\log y \\ \!\log c^{{}^{b}\!\log a} &= \!\log y \\ c^{{}^{b}\!\log a} &= y \end{align}
Jika bentuk di atas $y=c^{{}^{b}\!\log a}$ kita kembalikan ke langkah yaitu $a^{{}^{b}\!\log c}=y$ maka kita peroleh: \begin{align} c^{{}^{b}\!\log a}=a^{{}^{b}\!\log c}\end{align}
Sampai tahap ini kita sudah membuktikan bahwa $c^{{}^{b}\!\log a}=a^{{}^{b}\!\log c}$
- Contoh 1
$\begin{align} 2^{{}^{3}\!\log 5} &= 5^{{}^{3}\!\log 2} \end{align}$ - Contoh 2
$\begin{align} 10^{{}^{7}\!\log 3} &= 3^{{}^{7}\!\log 10} \end{align}$ - Contoh 3
$\begin{align} 10^{{}^{}\!\log 15} &= 15^{{}^{}\!\log 10} \\ & = 15^{1} \\ & = 15 \end{align}$
Sebagai bahan latihan dalam menggunakan sifat-sifat logaritma ini silahkan disimak contoh soal logaritma yang sudah pernah diujikan dalam Ujian Sekolah atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri soal dan pembahasan logaritma.
Catatan Cara Pembuktian Sifat-sifat Logaritma di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan.
