Mengenal dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika

Calon guru belajar matematika dasar SMA tentang Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika. Pertama kali mendengar istilah 'telescoping' adalah beberapa tahun yang lalu ketika mendapat kepelatihan dari SMA Budi Murni 1 Medan, yang memperkenalkan telescoping pada waktu itu adalah bapak Benny Yong.

Pemakaian telescoping ini sendiri banyak dipakai pada soal-soal matematika untuk tingkat kompetisi atau olimpiade matematika. Untuk Indonesia sudah mencoba memperkenalkan telescoping kepada semua pelajar di Indonesia pada buku matematika kurikulum 2013.

Telescoping ini hanyalah sebuah teknik dalam mengerjakan soal, karena jika kita cari arti kata telescoping dengan menggunakan kamus bahasa Inggris-Indonesia arti telescoping itu adalah "teleskop, teropong. -kkt. saling menerobos. -kki. memaksa bagian yang satu masuk ke bagian yang lain".

Beberapa buku Bahasa Indonesia yang memakai teknik telescoping dalam mengerjakan soal juga tidak menjelaskan defenisi telescoping secara jelas, secara umum buku-buku menyampaikan "teknik mengerjakan soal dengan menggunakan telescoping". Ada juga beberapa buku yang menuliskan 'telescoping' menjadi 'teleskopik'.

Beberapa waktu lalu bapak Benny Yong mengenalkan telescoping dengan cara berikut ini;

Dimisalkan:
$ \dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+1} $
dari persamaan di atas dapat kita peroleh:
$\begin{align}
\dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}= & \dfrac{A\left ( n+1 \right )}{n\left ( n+1 \right )}+\dfrac{B\left ( n \right )}{n\left (n+1 \right )} \\
\dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}= & \dfrac{A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right )}{n\left ( n+1 \right )} \\
1= & A\left ( n+1 \right )+ B \left ( n \right ) \\
1= & n\left ( A+B \right )+ A
\end{align}$

Untuk $ \left ( A+B \right )=0$ diperoleh $ A=1$ dan $B=-1$
Bentuk akhir diperoleh:
$ \dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

Sebagai tambahan dari buku Bapak Sabar Sitanggang yang berjudul olimpiade insyaallah ada jalan dituliskan seperti berikut:
$\begin{align}
\dfrac{1}{n\left ( n+p \right )}= & \dfrac{1}{p}\left (\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+p} \right ) \\
\dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}= & \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{n\left ( n+1 \right )}-\dfrac{1}{\left (n+1 \right )\left ( n+2 \right )} \right )
\end{align}$

Dari apa yang kita peroleh di atas, sebagai contoh soal, berikut kita sajikan beberapa soal matematika yang dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip telescoping.

Soal Pertama:
$ \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+ \cdots +\dfrac{1}{2015\times 2016} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} &\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+ \cdots +\dfrac{1}{2015\times 2016} \\ & = \left ( 1-\dfrac{1}{2} \right )+\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right )+ \left (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} \right )+ \cdots + \left ( \dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016} \right ) \\ & = 1-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} + \cdots +\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016} \\ & = 1-\dfrac{1}{2016} \\ & = \dfrac{2015}{2016} \end{align}$

Soal Kedua:
$ \dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}+ \cdots +\dfrac{1}{2015\times 2017} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}+\cdots+\dfrac{1}{2015 \times 2017} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3-1}{1 \cdot 3} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5-3}{3 \cdot 5} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{7-5}{5 \cdot 7} \right)+\cdots+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2017-2015}{2015 \cdot 2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{5} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{7} \right)+\cdots+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2015}- \dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{7} +\cdots+ \dfrac{1}{2015}- \dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2016}{2017} \right) = \dfrac{1008}{2017} \end{align}$

Soal Ketiga:
$ \dfrac{1}{1\times 5}+\dfrac{1}{5\times 9}+\dfrac{1}{9 \times 14}+ \cdots +\dfrac{1}{2013\times 2017} $

Alternatif Pembahasan:

$\begin{align} & \dfrac{1}{1\times 5}+\dfrac{1}{5\times 9}+\dfrac{1}{9\times 13}+\cdots+\dfrac{1}{2013\times 2017} \\ & = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{5-1}{1 \cdot 5} \right)+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{9-5}{5 \cdot 9} \right)+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{13-9}{9 \cdot 13} \right)+\cdots+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2017-2013}{2013 \cdot 2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} \left( 1-\dfrac{1}{5} \right)+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{5} -\dfrac{1}{9} \right)+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{9}- \dfrac{1}{13} \right)+\cdots+\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{2013}- \dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} \left( 1-\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} -\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}- \dfrac{1}{13} +\cdots+ \dfrac{1}{2013}- \dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} \left( 1-\dfrac{1}{2017} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2016}{2017} \right) = \dfrac{504}{2017} \end{align}$

Sebagai tambahan dalam Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika, kalian juga bisa belajar dari modul belajar Bapak Tulus Budi Prasetyo Prinsip dan Teknik Teleskoping 📥 Download File Prinsip dan Teknik Teleskoping.

Catatan Mengenal Prinsip dan Menggunakan Cara Kerja Telescoping Dalam Matematika di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.

JADIKAN HARI INI LUAR BIASA!
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.