Calon Guru belajar matematika dasar SMA dari cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran dari titik tepat pada lingkaran dan pembahasan soal-soal latihan.
Pernah merasa bingung ketika harus menentukan persamaan garis singgung lingkaran, jika yang diketahui persamaan lingkaran dan sebuah titik tepat pada lingkaran.
Masalah persamaan garis singgung lingkaran, jika yang diketahui adalah persamaan lingkaran dan titik pada lingkaran sering membuat siswa kesulitan menyelesaikannya, terutama saat menghadapi soal ujian. Tanpa pemahaman yang jelas, soal seperti ini bisa terasa rumit dan membingungkan.
Namun, jangan khawatir! Pada catatan ini, kita akan mempelajari langkah-langkah sederhana dan efektif untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan mudah, jika yang diketahui persamaan lingkaran dan titik pada lingkaran.
Catatan ini untuk melengkapi catatan lingkaran kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran jika yang diketahui adalah gradien garis singgung dan persamaan lingkaran.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dari Titik Tepat Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dari titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.
Alternatif Pembuktian Rumus:
Diketahui titik pusat lingkaran $O\left ( 0,0 \right )$ dan sebuah titik $P \left ( x_{1},y_{1} \right )$ terletak pada lingkaran. Kita akan menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $ P \left ( x_{1},y_{1} \right )$.
Misal persamaan garis singgung adalah $g:\ y-y_{1}=m \left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan lingkaran adalah $L:\ x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
Jika digambarkan antara garis $g$ dan lingkaran $L$ dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, dan beberapa catatan pada persamaan garis lurus dapat kita tuliskan:
Garis $OP$ melalui $O (0,0)$ dan $ P \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya dapat kita bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\frac{(y-y_{1})}{(y_2-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(x_2-x_{1} )} \\
\frac{(y-y_{1})}{(0-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(0-x_{1} )} \\
(y-y_{1} )( -x_{1} ) &= (x-x_{1} )( -y_{1} ) \\
-x_{1} y +x_{1} y_{1} &= -x y_{1} +x_{1} y_{1} \\
-x_{1} y &= -x y_{1} \\
y &= \frac{ -y_{1}}{-x_{1}} x \\
y &= \frac{ y_{1}}{ x_{1}} x
\end{align}$
Gradient $OP$, $ m_{OP}=\frac{ y_{1}}{ x_{1}} $
Garis $OP$ dan garis $g$ saling tegak lurus sehingga:
$\begin{align}
m_{OP}\times m_{g} &= -1 \\
\frac{ y_{1}}{ x_{1}} \times m_{g} &= -1 \\
m_{g} &= -\frac{ x_{1}}{ y_{1}}
\end{align}$
Garis $g$ yang melalui titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan gradien garis $g$ adalah $m_{g} = -\frac{ x_{1}}{ y_{1}}$, maka dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m_g (x-x_{1}) \\
y-y_{1} &= -\frac{x_{1}}{y_{1}} (x-x_{1}) \\
(y-y_{1} )(y_{1} ) &= (-x_{1})(x-x_{1} ) \\
yy_{1}-y_{1}^{2} &= -xx_{1}+x_{1}^{2} \\
xx_{1}+yy_{1} &= x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\ \cdots(pers.1)
\end{align}$
Titik $ P (x_{1},y_{1} )$ tepat berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2} =r^{2}$ sehingga dapat kita peroleh $x_{1}^{2}+y_{1}^{2} =r^{2}\ \cdots(pers.2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{align}
xx_{1}+yy_{1} &= x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \\
xx_{1}+yy_{1} &= r^{2}
\end{align}$
Kesimpulan yang kita peroleh, persamaan garis singgung pada lingkaran $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ yang berada tepat pada lingkaran adalah $ xx_{1}+yy_{1} =r^{2} $
Contoh soal PGS pada Lingkaran $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ dari Titik Pada Lingkaran
$(1).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left(3, –4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\
x \cdot (3) + y \cdot (-4) &= 25 \\
3x - 4y &= 25
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3x – 4y = 25$
$(2).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2}=20$ jika titik singgungnya $T \left( 4,2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2}=20$ jika titik singgungnya $T \left( 4,2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\
x \cdot (4) + y \cdot (2) &= 20 \\
4x + 2y &= 20 \\
2x + y &= 10
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x + y = 10$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ dari Titik Tepat Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$ dari titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.
Alternatif Pembuktian Rumus:
Misal persamaan garis singgung adalah $g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan lingkaran adalah $L: \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
Jika digambarkan antara garis $g$ dan lingkaran $L$ dapat seperti berikut ini:
Dari gambar di atas, dan beberapa catatan pada persamaan garis lurus dapat kita tuliskan:
$OP$ adalah jari-jari $(r)$, dan garis $OP$ melalui $O (a,b)$ dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya dapat kita bentuk sebagai berikut:
$\begin{align}
\frac{(y-y_{1})}{(y_2-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(x_2-x_{1} )} \\
\frac{(y-y_{1})}{(b-y_{1} )} &= \frac{(x-x_{1})}{(a-x_{1} )} \\
(y-y_{1} )(a-x_{1} ) &= (x-x_{1} )(b-y_{1} ) \\
ay-x_{1} y-ay_{1}+x_{1} y_{1} &= bx-x y_{1}-bx_{1}+x_{1} y_{1} \\
(a-x_{1} )y &= (b-y_{1} )x-bx_{1}+x_{1} y_{1}+ay_{1}-x_{1} y_{1}
\end{align}$
Gradient $OP$, $ m_{OP}=\dfrac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )} $
Garis $OP$ dan garis $g$ saling tegak lurus sehingga:
$\begin{align}
m_{OP}\times m_{g} &= -1 \\
\dfrac{(b-y_{1})}{(a-x_{1} )}\times m_{g} &= -1 \\
m_{g} &= \dfrac{x_{1}-a}{b-y_{1}} \\
\end{align}$
Persamaan garis $g$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} &= m_g (x-x_{1}) \\
y-y_{1} &= \frac{x_{1}-a}{b-y_{1}} (x-x_{1}) \\
(y-y_{1} )(b-y_{1} ) &= (x_{1}-a )(x-x_{1} ) \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2} &= xx_{1}-x_{1}^{2}-ax+ax_{1} \\
by-yy_{1}-by_{1}+y_{1}^{2}-xx_{1}+x_{1}^{2}+ax-ax_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-xx_{1}+ax-ax_{1}+y_{1}^{2}-yy_{1}+by-by_{1} &= 0 \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= xx_{1}-ax+yy_{1}-by\ \cdots(pers.1)
\end{align}$
Titik $ P (x_{1},y_{1} )$ tepat berada pada lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2} =r^{2}$ sehingga diperoleh persamaan:
$\begin{align}
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-2ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-2by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}-ax_{1}+a^{2}+y_{1}^{2}-by_{1}-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
x_{1}^{2}-ax_{1}+y_{1}^{2}-by_{1} &= r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1}\ \cdots(pers.2)
\end{align}$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{align}
xx_{1}-ax+yy_{1}-by &=r^{2}-b^{2}-a^{2}+ax_{1}+by_{1} \\
xx_{1}-ax+yy_{1}-by+b^{2}+a^{2}-ax_{1}-by_{1} &=r^{2} \\
xx_{1}-ax_{1}-ax+a^{2}+yy_{1}-by-by_{1}+b^{2} &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}+(a-x)a+(y-b)y_{1}+(b-y)b &=r^{2} \\
(x-a) x_{1}-(x-a)a+(y-b) y_{1}-(y-b)b &=r^{2} \\
(x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b) &=r^{2} \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung pada lingkaran $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} ) $ yang berada pada lingkaran adalah $ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Contoh soal PGS pada Lingkaran $ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} $ dari Titik Pada Lingkaran
$(3).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left( 5,-2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.
Garis singgung lingkaran $\left(x-2 \right)^{2}+\left(y+6 \right)^{2}=25$ jika titik singgungnya $T \left( 5,-2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\
\left(x-2 \right) \left(x_{1}-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(y_{1}+6 \right) &= 25 \\
\left(x-2 \right) \left(5-2 \right)+\left(y+6 \right)\left(-2+6 \right) &= 25 \\
\left(x-2 \right) \left(3 \right)+\left(y+6 \right)\left( 4 \right) &= 25 \\
3x-6 +4y+24 &= 25 \\
3x +4y &= 7
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3x + 4y = 7$
$(4).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $\left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right)=r^{2}$.
Garis singgung lingkaran $\left(x+3 \right)^{2}+\left(y-4 \right)^{2}=34$ jika titik singgungnya $T \left( 2,1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
\left(x-a \right) \left(x_{1}-a \right)+\left(y-b \right)\left(y_{1}-b \right) &= r^{2} \\
\left(x+3 \right) \left(x_{1}+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(y_{1}-4 \right) &= 34 \\
\left(x+3 \right) \left(2+3 \right)+\left(y-4 \right)\left(1-4 \right) &= 34 \\
\left(x+3 \right) \left( 5 \right)+\left(y-4 \right)\left( -3 \right) &= 34 \\
5x+15 -3y+12 &= 34 \\
5x -3y &= 7
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5x – 3y = 7$
$(5).$ Garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ di titik $P \left(3, 1 \right)$ menyinggung pula lingkaran $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$. Nilai $p = \cdots$
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $ x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} =r^{2}$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 10$ jika titik singgungnya $P \left(3, 1 \right)$ adalah:
$\begin{align}
x \cdot x_{1} + y \cdot y_{1} &= r^{2} \\
x \cdot (3) + y \cdot (1) &= 10 \\
3x + y &= 10
\end{align}$
Garis $3x + y= 10$ juga menyinggung lingkaran $\left(x – 4 \right)^{2} + \left(y – 3\right)^{2} = p$ sehingga jarak titik pusat $\left( 4,3 \right)$ ke garis $3x + y= 10$ merupakan jari-jari lingkaran. Sehingga nilai $p$ adalah:
$\begin{align}
p &= r^{2} \\
p &= \left( \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \right)^{2} \\
p &= \left( \left| \dfrac{(3)(4)+(1)(3)-10}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}} \right| \right)^{2} \\
p &= \left( \left| \dfrac{5}{\sqrt{10}} \right| \right)^{2} \\
p &= \dfrac{25}{10} = 2,5
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2,5$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dari Titik Tepat Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ dari titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C = 0$.
Alternatif Pembuktian Rumus:
Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,$ dan $r^{2}$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2} $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$\begin{align}
& (x+\frac{1}{2} A)(x_{1}+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_{1}+\frac{1}{2} B) \\
&=\frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+\frac{1}{4} B^{2} \\
&= \frac{1}{4} A^{2}+\frac{1}{4} B^{2}-C \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{4} A^{2}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+ \\
& \frac{1}{2} By_{1} +\frac{1}{4} B^{2}-\frac{1}{4} A^{2}-\frac{1}{4} B^{2}+C = 0 \\
\hline
& xx_{1}+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C = 0 \\
\end{align}$
Persamaan garis singgung lingkaran $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_{1},y_{1} )$ pada lingkaran adalah $ xx_{1}+ yy_{1}+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_{1}+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_{1}+C=0 $
Contoh soal PGS pada Lingkaran $ x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 $ dari Titik Pada Lingkaran
$(6).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 10x + 4y + 9 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( 1,-4 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\
x( 1) +y(-4)+\frac{1}{2}(-10)(x+( 1))+\frac{1}{2}(4)(y+(-4))+(9) &= 0 \\
x -4y -5x -5 +2y -8 +9 &= 0 \\
-4x -2y -4 &= 0 \\
2x+y+2 &= 0
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x + y = -2$
$(7).$ Persamaan garis singgung suatu lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y - 23 = 0$ jika titik singgungnya di $T \left( -3,2 \right)$ adalah...
Alternatif Pembahasan:
Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, garis singgung lingkaran melalui titik $\left(x_{1},y_{1} \right)$ yang tepat berada pada lingkaran adalah $xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C=0$.
Garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} – 2x + 2y - 23 = 0$ jika titik singgungnya $T \left( -3,2 \right)$ adalah:
$\begin{align}
xx_{1} +yy_{1}+\frac{1}{2}A(x+x_{1})+\frac{1}{2}B(y+y_{1})+C &= 0 \\
x(-3) +y(2)+\frac{1}{2}(-2)(x+(-3))+\frac{1}{2}(2)(y+(2))+(-23) &= 0 \\
-3x +2y -x +3 +y +2 -23 &= 0 \\
-4x +3y -18 &= 0
\end{align}$
Jika kita gambarkan kedudukan titik, garis dan lingkaran seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4x - 3y +18 =0$
Catatan Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran di atas sifatnya "dokumen hidup" yang senantiasa diperbaiki atau diperbaharui sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Catatan tambahan dari Anda untuk admin diharapkan dapat meningkatkan kualitas catatan ini 🙏 CMIIW.
Ayo Share (Berbagi) Satu Hal Baik.
Jangan jadikan sekolah hanya untuk mencari nilai, tetapi bagaimana sekolah itu menjadikanmu bernilai.
